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欧拉函数

欧拉函数是什么？ \varphi(n)表示的是小于等于 n和 n互质的数的个数。

比如说 \varphi(1) = 1。

当 n 是质数的时候，显然有 \varphi(n) = n - 1。

利用唯一分解定理，我们可以把一个整数唯一地分解为质数幂次的乘积，

设 n = p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_s^{k_s}，其中 p_i是质数，那么定义 \varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}}

欧拉函数的一些神奇性质

  • 欧拉函数是积性函数。

    积性是什么意思呢？如果有 \gcd(a, b) = 1，那么 \varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b)。

    特别地，当 n是奇数时 \varphi(2n) = 2 \times \varphi(n)。

  • n = \sum_{d | n}{\varphi(d)}

    利用莫比乌斯反演相关知识可以得出。

    也可以这样考虑：如果 \gcd(k, n) = d，那么 \gcd(\frac{k}{d},\frac{n}{d}) = 1。（ k < n）

    如果我们设 f(x)表示 \gcd(k, n) = x的数的个数，那么 n = \sum_{i = 1}^n{f(x)}。

    根据上面的证明，我们发现， f(x) = \varphi(\frac{n}{x})，从而 n = \sum_{d | n}\varphi(\frac{n}{d})。注意到约数 d和 \frac{n}{d}具有对称性，所以上式化为 n = \sum_{d | n}\varphi(d)。

  • 若 n = p^k，其中 p是质数，那么 \varphi(n) = p^k - p^{k - 1}。 （根据定义可知）

如何求欧拉函数值

如果只要求一个数的欧拉函数值，那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了。

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int euler_phi(int n) {
  int m = int(sqrt(n + 0.5));
  int ans = n;
  for (int i = 2; i <= m; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}

如果是多个数的欧拉函数值，可以利用后面会提到的线性筛法来求得。 详见：筛法求欧拉函数

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