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复杂度

复杂度是我们衡量一个算法好坏的重要的标准。在算法竞赛中，我们通常关注于算法的时间复杂和空间复杂度。

一般的来说，复杂度是一个关于输入长度的一个函数。对于某些算法来说，相同的输入的不同输入依然会造成算法的运行时间/空间的不同，因此我们通常使用算法的最坏时间复杂度，记为 T(n)。对于一些特殊的情况，我们可能会关心它的平均情况复杂复杂度（特别是对于随机算法 (randomized algorithm)），这个时候我们通过使用随机分析 (probabilistic analysis) 来得到期望的复杂度。

渐进符号

我们通常使用渐进符号来描述一个算法的复杂度。

\Theta符号

对于给定的一个函数 g(n), 函数集合 \Theta(g(n))定义为

\Theta(g(n)) = \{f(n) : 存在常数 c_1,c_2,n_0 \in \mathbb{R^{+}}使得 0 \leq c_1g(n) \leq f(n) \leq c_2g(n), \qquad \forall n \geq n_0\}

也就是说，如果函数 f(n)属于 \Theta(g(n))，那么我们能找到两个正常数 c_1, c_2使得 f(n)被 c_1g(n)和 c_2g(n)夹在中间。因为 \Theta(g(n))是一个函数集合，我们可以用 f(n) \in \Theta(g(n))表达 f(n)属于 \Theta(g(n))，但是我们通常使用 f(n) = \Theta(g(n))。

O符号

\Theta符号同时给了我们一个函数的上下界，如果我们只有一个函数的渐进上界的时候，我们使用 O符号。对于一个给定的函数 g(n), 我们把它记作 O(g(n))。

O(g(n)) = \{f(n):存在常数 c,n_0 使得 0\leq f(n) \leq cg(n), \qquad \forall n \geq n_0\}

\Omega符号

同样的，我们使用 \Omega符号来描述一个函数的渐进下界。

\Omega(g(n)) = \{f(n):存在常数 c,n_0 使得 0 \leq cg(n) \leq f(n) , \qquad \forall n \geq n_0\}

常见性质

  • f_1(n) + f_2(n) = O(\max(f_1(n), f_2(n)))
  • f_1(n) \times f_2(n) = O(f_1(n) \times f_2(n))
  • 任何对数函数无论底数为何，都具有相同的增长率。 \forall a \neq 1, \log_a{n} = O(\log_2 n)

主定理 (Master Theorem)

我们可以使用 Master Theorem 来快速的求得关于递归算法的复杂度。 假设我们有递推关系式

T(n) = AT\left(\frac{n}{b}\right)＋cn^k, \qquad \forall n > b

那么

T(n) = \begin{cases}\Theta(n^{\log_b a}) & a > b^k \\ \Theta(n^k) & a< b^k \\ \Theta(n^k\log n ) & a = b^k \end{cases}

均摊复杂度

算法往往是会对内存中的数据进行修改的，而同一个算法的多次执行，就会通过对数据的修改而互相影响。

例如快速排序中的“按大小分类”操作，单次执行的最坏时间复杂度，看似是 O(n)的。 但是由于快排的分治过程，先前的“分类”操作每次都减小了数组长度，所以实际的总复杂度 O(n \log_2 n)，分摊在每一次“分类”操作上，是 O(\log_2 n)。

多次操作的总复杂度除以操作次数，就是这种操作的 均摊复杂度 。

势能分析

势能分析，是一种求均摊复杂度下界的方法。 求均摊复杂度，关键是表达出先前操作对当前操作的影响。势能分析用一个函数来表达此种影响。

定义“状态” S：即某一时刻的所有数据。在快排的例子中，一个“状态”就是当前过程需要排序的下标区间

定义“初始状态” S_0：即未进行任何操作时的状态。在快排的例子中，“初始状态”就是整个数组

假设存在从状态到数的函数 F，且对于任何状态 S， F(S) \geq F(S_0)，则有以下推论：

设 S_1,S_2, \cdots ,S_m为从 S_0开始连续做 m次操作所得的状态序列， c_i为第 i次操作的时间开销。

记 p_i = c_i + F(S_i) - F(S_{i-1})，则 m次操作的总时间花销为

\sum_{i=1}^m p_i + F(S_0) - F(S_m)

（正负相消，证明显然）

又因为 F(S) \geq F(S_0)，所以有

\sum_{i=1}^m p_i \geq \sum_{i=1}^m c_i

因此，若 p_i = O(T(n))，则 O(T(n))是均摊复杂度的一个下界。

势能分析使用中有很多技巧，案例在此不题。

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