线性规划
线性规划¶
定义¶
研究线性约束条件下线性目标函数极值问题的方法总称，是运筹学的一个分支，在多方面均有应用。线性规划的某些特殊情况，如网络流、多商品流量等问题都有可能作为 OI 问题出现
线性规划问题的描述¶
一个问题要能转化为线性规划问题，首先需要有一个或多个线性约束条件，然后要求的目标函数也应该是线性的。那么，最容易也是最常用的描述方法就是标准型。
我们以《算法导论》中线性规划一节提出的问题为例：
假如你是一位政治家，试图赢得一场选举，你的选区有三种：市区，郊区和乡村，这些选区分别有 100000、200000 和 50000 个选民，尽管并不是所有人都有足够的社会责任感去投票，你还是希望每个选区至少有半数选民投票以确保你可以当选
显而易见的，你是一个正直、可敬的人，然而你意识到，在某些选区，某些议题可以更有效的赢取选票。你的首要议题是修筑更多的道路、枪支管制、农场补贴以及调整汽油税。你的竞选班子可以为你估测每花费 $1000 做广告，在每个选区可以赢取或者失去的选票的数量（千人），如下表所示：
| 政策 | 市区 | 郊区 | 乡村 |
|---|---|---|---|
| 修路 | -2 | 5 | 3 |
| 枪支管制 | 8 | 2 | -5 |
| 农场补贴 | 0 | 0 | 10 |
| 汽油税 | 10 | 0 | -2 |
你的目标是计算出要在市区，郊区和乡村分别获得至少 50000，100000 和 25000 张选票所花费的最少钱数
我们可以使用数学语言来描述它：
设 为花费在修路广告上的钱（千美元）
设 为花费在枪支管制广告上的钱（千美元）
设 为花费在农场补贴广告上的钱（千美元）
设 为花费在汽油税广告上的钱（千美元）
那么我们可以将在市区获得至少 50000 张市区选票表述为
同样的，在郊区获得至少 100000 张选票和在乡村获得至少 25000 张选票可以表示为
显而易见的，广告服务提供商不会倒贴钱给你然后做反向广告，由此可得
又因为我们的目标是使总费用最小，综上所述，原问题可以表述为：
最小化 ,
满足
这个线性规划的解就是这个问题的最优策略
用更具有普遍性的语言说：
已知一组实数 和一组变量 , 在定义上有函数
显而易见的，这个函数是线性的。如果 b 是一个实数而满足 , 则这个等式被称为线性等式，同样的，满足 或者 则称之为线性不等式
在线性规划问题中，线性等式和线性不等式统称为线性约束。
一个线性规划问题是一个线性函数的极值问题，而这个线性函数应该服从于一个或者多个线性约束。
图解法¶
上面那个问题中变量较多，不便于使用图解法，所以用下面的问题来介绍图解法：
最小化
满足
知道这些约束条件以后，我们需要将它们在平面直角坐标系中画出来
（红色区域）
（黑色区域）
（深红色区域以及包含于 区域的浅红色区域）
显而易见的，打了蓝色斜线的区域为三块区域的交集，这就是这个线性规划的所有可行解。因为题目中说明，需要最小化 x 和 y，观察图像可知，点（2.3）为可行解中 x 和 y 最小的一个。因此，
把求解线性规划的图解法总结起来，就是先在坐标系中作出所有的约束条件，然后作出需要求极值的线性函数的定义域。定义域与约束条件的交集就是这个线性规划的解集，而所需求的极值由观察可以轻易得出。
build本页面最近更新：，更新历史
edit发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！
people本页面贡献者：
copyright本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用