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线性同余方程

介绍

形如 ax \equiv b \pmod c的方程被称为 线性同余方程 (Congruence Equation)。

[NOIp 2012]同余方程

求解方法

根据以下两个定理，我们可以求出同余方程 ax \equiv b \pmod c的解。

定理 1：

方程 ax+by=c与方程 ax \equiv c \pmod b是等价的，有整数解的充要条件为 \gcd(a,b) \mid c。

根据定理 1，方程 ax+by=c，我们可以先用扩展欧几里得算法求出一组 x_0,y_0，也就是 ax_0+by_0=\gcd(a,b)，然后两边同时除以 \gcd(a,b)，再乘 c。然后就得到了方程 acx_0/\gcd(a,b)+bcy_0/\gcd(a,b)=c，然后我们就找到了方程的一个解。

定理 2：

若 \gcd(a,b)=1，且 x_0,y_0为方程 ax+by=c的一组解，则该方程的任意解可表示为： x=x_0+bt,y=y_0+at, 且对任意整数 t都成立。

根据定理 2，可以求出方程的所有解。但在实际问题中，我们往往被要求求出一个最小整数解，也就是一个特解 x,t=b/\gcd(a,b),x=(x \mod t+t)\mod t。

代码：

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int ex_gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  if (b == 0) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  int d = ex_gcd(b, a % b, x, y);
  int temp = x;
  x = y;
  y = temp - a / b * y;
  return d;
}
bool liEu(int a, int b, int c, int& x, int& y) {
  int d = ex_gcd(a, b, x, y);
  if (c % d != 0) return 0;
  int k = c / d;
  x *= k;
  y *= k;
  return 1;
}
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