跳转至

最大公约数

最大公约数

最大公约数即为 Greatest Common Divisor，常缩写为 gcd

在素数一节中，我们已经介绍了约数的概念。

一组数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数。而最大公约数，则是指所有公约数里面最大的一个。

那么如何求最大公约数呢？我们先考虑两个数的情况。

两个数的

如果我们已知两个数 a和 b，如何求出二者的最大公约数呢？

不妨设 a > b

我们发现如果 b是 a的约数，那么 b就是二者的最大公约数。 下面讨论不能整除的情况，即 a = b \times q + r，其中 r < b。

我们通过证明可以得到 \gcd(a,b)=\gcd(b,a \bmod b)，过程如下：

设 a=bk+c，显然有 c=a \bmod b。设 d|a\ \ \ d|b，则 c=a-bk\frac{c}{d}=\frac{a}{d}-\frac{b}{d}k由右边的式子可知 \frac{c}{d}为整数，即 d|c所以对于 a,b的公约数，它也会是 a \bmod b的公约数。

反过来也需要证明

设 d|b\ \ \ d|(a \bmod b)，我们还是可以像之前一样得到以下式子 \frac{a\bmod b}{d}=\frac{a}{d}-\frac{b}{d}k\frac{a\bmod b}{d}+\frac{b}{d}k=\frac{a}{d}因为左边式子显然为整数，所以 \frac{a}{d}也为整数，即 d|a，所以 b,a\bmod b的公约数也是 a,b的公约数。

既然两式公约数都是相同的，那么最大公约数也会相同

所以得到式子 \gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)

既然得到了 \gcd(a, b) = \gcd(b, r)，这里两个数的大小是不会增大的，那么我们也就得到了关于两个数的最大公约数的一个递归求法。

1
2
3
4
int gcd(int a, int b) {
  if (b == 0) return a;
  return gcd(b, a % b);
}

递归至 b==0 （即上一步的 a%b==0 ) 的情况再返回值即可。

如果两个数 a和 b满足 \gcd(a, b) = 1，我们称 a和 b互质。

多个数的

那怎么求多个书的最大公约数呢？显然答案一定是每个数的约数，那么也一定是每相邻两个数的约数。我们采用归纳法，可以证明，每次取出两个数求出答案后再放回去，不会对所需要的答案造成影响。

最小公倍数

两个数的

首先我们介绍这样一个定理——算术基本定理：

每一个正整数都可以表示成若干整数的乘积，这种分解方式在忽略排列次序的条件下是唯一的。

用数学公式来表示就是 x = p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_s^{k_s}

设 a = p_{a_1}^{k_{a_1}}p_{a_2}^{k_{a_2}} \cdots p_{a_s}^{k_{a_s}}, b = p_{b_1}^{k_{b_1}}p_{b_2}^{k_{b_2}} \cdots p_{b_s}^{k_{b_s}}

我们发现，对于 a和 b的情况，二者的最大公约数等于

p_1^{k_{\min(a_1, b_1)}}p_2^{k_{\min(a_2, b_2)}} \cdots p_s^{k_{\min(a_s, b_s)}}

最小公倍数等于

p_1^{k_{\max(a_1, b_1)}}p_2^{k_{\max(a_2, b_2)}} \cdots p_s^{k_{\max(a_s, b_s)}}

由于 a + b = \max(a, b) + \min(a, b)

所以得到结论是 \gcd(a, b) \times \operatorname{lcm}(a, b) = a \times b

要求两个数的最小公倍数，先求出最大公约数即可。

多个数的

可以发现，当我们求出两个数的 gcd时，求最小公倍数是 O(1)的复杂度。那么对于多个数，我们其实没有必要求一个共同的最大公约数再去处理，最直接的方法就是，当我们算出两个数的 gcd，或许在求多个数的 gcd时候，我们将它放入序列对后面的数继续求解，那么，我们转换一下，直接将最小公倍数放入序列即可

EXGCD - 扩展欧几里得定理

目的：求 ax+by=\gcd(a,b)的一组可行解

证明

设

ax_1+by_1=\gcd(a,b)

bx_2+(a\bmod b)y_2=\gcd(b,a\bmod b)

由欧几里得定理可知： \gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)

所以 ax_1+by_1=bx_2+(a\bmod b)y_2

又因为 a\bmod b=a-(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)

所以 ax_1+by_1=bx_2+(a-(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b))y_2

ax_1+by_1=ay_2+bx_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times by_2=ay_2+b(x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2)

因为 a=a,b=b，所以 x_1=y_2,y_1=x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2

将 x_2,y_2不断代入递归求解直至 GCD（最大公约数，下同）为 0 递归 x=1,y=0 回去求解。

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
  if (!b) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  int d = Exgcd(b, a % b, x, y);
  int t = x;
  x = y;
  y = t - (a / b) * y;
  return d;
}

函数返回的值为 GCD，在这个过程中计算 x,y即可

build本页面最近更新：，更新历史
edit发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！
people本页面贡献者：
copyright本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用

评论