复数
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复数的引入，定义和分类¶
复数的引入¶
注：下面的引入方法来自人教版高中数学 A 版选修 2-2。
我们在实数域中，说 这个二次方程无解。这个方程无解，那么我们能不能强行让它有解？如果让它有解的话，确实我们解决了问题，但是这个解的意义是什么？
我们尝试一下，定义一个新数 ， ，那么 就有一个解 了。
我们希望引入的这个新数与实数域中的数一样，能与实数进行加法和乘法运算，还保留各种运算律。
那么我们很容易想到 这种形式，当然其中 都是实数。把 看做类似变量的东西，验证其运算性质。我们可以发现，得到的结果全部有着 的类似形式。
那么这样的性质就与实数域类似了，我们把所有有着 形式的数放入一个集合中，就出现了复数集 。
我们可以发现，这个集合中的数和实数集中的数类似，都有在集合中任选两个数进行四则运算，得到的数都是原集合中的数的性质。我们说复数集对于四则运算是 封闭的 。
复数的定义和分类¶
哇哦我们定义的数的性质这么好！
我们定义形如 ，其中 的数叫做 复数 ，其中 被称为 虚数单位 ，全体复数的集合叫做 复数集 。
复数通常用 表示，即 。这种形式被称为 复数的代数形式 。其中 称为复数 的 实部 ， 称为复数 的 虚部 。如无特殊说明，都有 。
对于一个复数 ，当且仅当 时，它是实数，当 时，它是虚数，当 且 时，它是纯虚数。
纯虚数，虚数，实数，复数的关系如下图所示。
复数的性质与运算¶
复数的几何意义¶
我们知道了 这样类似的形式的数被称为复数，并且给出了定义和分类，我们还可以挖掘一下更深层的性质。
我们把所有实数都放在了数轴上，并且发现数轴上的点与实数一一对应。我们考虑对复数也这样处理。
首先我们定义 复数相等 ：两个复数 是相等的，当且仅当 且 。
这么定义是十分自然的，在此不做过多解释。
也就是说，我们可以用唯一的有序实数对 表示一个复数 。这样，联想到平面直角坐标系，我们可以发现 复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应 。好了，我们找到了复数的一种几何意义。
那么这个平面直角坐标系就不再一般，因为平面直角坐标系中的点具有了特殊意义——表示一个复数，所以我们把这样的平面直角坐标系称为 复平面 ， 轴称为 实轴 ， 轴称为 虚轴 。我们进一步地说： 复数集与复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的 。
我们考虑到学过的平面向量的知识，发现向量的坐标表示也是一个有序实数对 ，显然，复数 对应复平面内的点 ，那么它还对应平面向量 ，于是我们又找到了复数的另一种几何意义： 复数集与复平面内的向量所构成的集合是一一对应的（实数 与零向量对应） 。
于是，我们由向量的知识迁移到复数上来，定义 复数的模 就是复数所对应的向量的模。复数 的模 。
于是为了方便，我们常把复数 称为点 或向量 ，并规定相等的向量表示同一个复数。
并且由向量的知识我们发现，虚数不可以比较大小（但是实数是可以的）。
复数的运算¶
复数的加法与减法¶
我们规定，复数的加法规则如下：
设 ，那么
很明显，两个复数的和仍为复数。
考虑到向量的加法运算，我们发现复数的加法运算符合向量的加法运算法则，这同样证明了复数的几何意义的正确性。
同样可以验证， 复数的加法满足交换律和结合律 。即：
减法作为加法的逆运算，我们可以通过加法法则与复数相等的定义来推导出减法法则：
这同样符合向量的减法运算。
复数的乘法与除法¶
我们规定，复数的加法规则如下：
设 ，那么
可以看出，两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只需要把 换成 ，并将实部与虚部分别合并即可。
复数确实与多项式有关，因为复数域是实系数多项式环模掉 生成的理想。（这句话不明白其实也没有关系）
复数的乘法与向量的向量积形式类似，是由于复数集是数环。
于是容易知道， 复数乘法满足交换律，结合律和对加法的分配律 ，即：
由于满足运算律，我们可以发现实数域中的 乘法公式在复数域中同样适用 。
除法运算是乘法运算的逆运算，我们可以推导一下：
为了分母实数化，我们乘了一个 ，这个式子很有意义。
我们定义，当两个虚数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为 共轭复数 。通常记 的共轭复数为 。我们可以发现，两个复数互为共轭复数，那么它们 关于实轴对称 。
由于向量没有除法，这里不讨论与向量的关系。
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