树基础

图论中的树和现实生活中的树长得一样，只不过我们习惯于处理问题的时候把树根放到上方来考虑。这种数据结构看起来像是一个倒挂的树，因此得名。

一个没有固定根结点的树称为 无根树 （unrooted tree）。无根树有几种等价的形式化定义：

有个结点，条边的连通无向图
无向无环的连通图
任意两个结点之间有且仅有一条简单路径的无向图
任何边均为桥的连通图
没有圈，且在任意不同两点间添加一条边之后所得图含唯一的一个圈的图

在无根树的基础上，指定一个结点称为根，则形成一棵 有根树 （rooted tree）。有根树在很多时候仍以无向图表示，只是规定了结点之间的上下级关系，详见下文。

有关树的定义¶

适用于无根树和有根树¶

森林（forest） ：每个连通分量（连通块）都是树的图。按照定义，一棵树也是森林。
生成树（spanning tree） ：一个连通无向图的生成子图，同时要求是树。也即在图的边集中选择条，将所有顶点连通。
结点的深度（depth） ：到根结点的路径上的边数。
树的高度（height） ：所有结点的深度的最大值。
无根树的叶结点（leaf node） ：度数不超过的结点。

为什么不是度数恰为？

考虑。

有根树的叶结点（leaf node） ：没有子结点的结点。

只适用于有根树¶

父亲（parent node） ：对于除根以外的每个结点，定义为从该结点到根路径上的第二个结点。根结点没有父结点。
祖先（ancestor） ：一个结点到根结点的路径上，除了它本身外的结点。根结点的祖先集合为空。
子结点（child node） ：如果是的父亲，那么是的子结点。
子结点的顺序一般不加以区分，二叉树是一个例外。
兄弟（sibling） ：同一个父亲的多个子结点互为兄弟。
后代（descendant） ：子结点和子结点的后代。
或者理解成：如果是的祖先，那么是的后代。
子树（subtree） ：删掉与父亲相连的边后，该结点所在的子图。

特殊的树¶

链（chain/path graph） ：满足与任一结点相连的边不超过条的树称为链。
菊花/星星（star） ：满足存在使得所有除以外结点均与相连的树称为菊花。
有根二叉树（rooted binary tree） ：每个结点最多只有两个儿子（子结点）的有根树称为二叉树。常常对两个子结点的顺序加以区分，分别称之为左子结点和右子结点。
大多数情况下， 二叉树 一词均指有根二叉树。

完整二叉树（full/proper binary tree） ：每个结点的子结点数量均为 0 或者 2 的二叉树。换言之，每个结点或者是树叶，或者左右子树均非空。
完全二叉树（complete binary tree） ：只有最下面两层结点的度数可以小于 2，且最下面一层的结点都集中在该层最左边的连续位置上。
完美二叉树（perfect binary tree） ：所有叶结点的深度均相同的二叉树称为完美二叉树。

Warning

Proper binary tree 的汉译名称不固定，且完全二叉树和满二叉树的定义在不同教材中定义不同，遇到的时候需根据上下文加以判断。

OIers 所说的“满二叉树”多指完美二叉树。

存储¶

只记录父结点¶

用一个数组 parent[N] 记录每个结点的父亲结点。

这种方式可以获得的信息较少，不便于进行自顶向下的遍历。常用于自底向上的递推问题中。

邻接表¶

对于无根树：为每个结点开辟一个线性列表，记录所有与之相连的结点。
1
std::vector<int> adj[N];
对于有根树：
- 方法一：若给定的是无向图，则仍可以上述形式存储。下文将介绍如何区分结点的上下关系。
- 方法二：若输入数据能够确保结点的上下关系，则可以利用这个信息。为每个结点开辟一个线性列表，记录其所有子结点；若有需要，还可在另一个数组中记录其父结点。
  1 2
  std::vector<int> children[N]; int parent[N];
  当然也可以用其他方式（如链表）替代 std::vector 。

左孩子右兄弟表示法¶

对于有根树，存在一种简单的表示方法。

首先，给每个结点的所有子结点任意确定一个顺序。

此后为每个结点记录两个值：其 第一个子结点 child[u] 和其 下一个兄弟结点 sib[u] 。若没有子结点，则 child[u] 为空；若该结点是其父结点的最后一个子结点，则 sib[u] 为空。

遍历一个结点的所有子结点可由如下方式实现。

int v = child[u];  // 从第一个子结点开始
while (v != EMPTY_NODE) {
  // ...
  // 处理子结点 v
  // ...
  v = sib[v];  // 转至下一个子结点，即 v 的一个兄弟
}

也可简写为以下形式。

for (int v = child[u]; v != EMPTY_NODE; v = sib[v]) {
  // ...
  // 处理子结点 v
  // ...
}

二叉树¶

需要记录每个结点的左右子结点。

int parent[N];
int lch[N], rch[N];
// -- or --
int child[N][2];

树的遍历¶

树上 DFS¶

在树上 DFS 是这样的一个过程：先访问根节点，然后分别访问根节点每个儿子的子树。

可以用来求出每个节点的深度、父亲等信息。

二叉树上 DFS¶

（图待补）

先序遍历¶

先访问根，再访问子节点。

中序遍历¶

先访问左子树，再访问根，再访问右子树。

后序遍历¶

先访问子节点，再访问根。

已知中序遍历和另外一个可以求第三个。

树上 BFS¶

从树根开始，严格按照层次来访问节点。

BFS 过程中也可以顺便求出各个节点的深度和父亲节点。

无根树¶

树的遍历一般为深度优先遍历，这个过程中最需要注意的是避免重复访问结点。

由于树是无环图，因此只需记录当前结点是由哪个结点访问而来，此后进入除该结点外的所有相邻结点，即可避免重复访问。

void dfs(int u, int from) {
  // 递归进入除了 from 之外的所有子结点
  // 对于出发结点，from 为空，故会访问所有相邻结点，这与期望一致
  for (int v : adj[u])
    if (v != from) {
      dfs(v, u);
    }
}

// 开始遍历时
int EMPTY_NODE = -1;  // 一个不存在的编号
int root = 0;         // 任取一个结点作为出发点
dfs(root, EMPTY_NODE);

有根树¶

对于有根树，需要区分结点的上下关系。

考察上面的遍历过程，若从根开始遍历，则访问到一个结点时 from 的值，就是其父结点的编号。

通过这个方式，可以对于无向的输入求出所有结点的父结点，以及子结点列表。

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