Treap

treap 是一种弱平衡的二叉搜索树。treap 这个单词是 tree 和 heap 的组合，表明 treap 是一种由树和堆组合形成的数据结构。treap 的每个结点上要额外储存一个值。treap 除了要满足二叉搜索树的性质之外，还需满足父节点的大于等于两个儿子的。而是每个结点建立时随机生成的，因此 treap 是期望平衡的。

treap 分为旋转式和无旋式两种。两种 treap 都易于编写，但无旋式 treap 的操作方式使得它天生支持维护序列、可持久化等特性。这里以重新实现 set<int> （不可重集合）为例，介绍无旋式 treap。

无旋式 treap 的核心操作¶

无旋式 treap 又称分裂合并 treap。它仅有两种核心操作，即为分裂与合并。下面逐一介绍这两种操作。

分裂（split）¶

分裂过程接受两个参数：根指针、关键值。结果为将根指针指向的 treap 分裂为两个 treap，第一个 treap 所有结点的关键值小于等于，第二个 treap 所有结点的关键值大于。该过程首先判断是否小于的关键值，若小于，则说明及其右子树全部属于第二个 treap，否则说明及其左子树全部属于第一个 treap。根据此判断决定应向左子树递归还是应向右子树递归，继续分裂子树。待子树分裂完成后按刚刚的判断情况连接的左子树或右子树到递归分裂所得的子树中。

pair<node *, node *> split(node *u, int key) {
  if (u == nullptr) {
    return make_pair(nullptr, nullptr);
  }
  if (key < u->key) {
    pair<node *, node *> o = split(u->lch, key);
    u->lch = o.second;
    return make_pair(o.first, u);
  } else {
    pair<node *, node *> o = split(u->rch, key);
    u->rch = o.first;
    return make_pair(u, o.second);
  }
}

合并（merge）¶

合并过程接受两个参数：左 treap 的根指针、右 treap 的根指针。必须满足中所有结点的关键值小于等于中左右结点的关键值。因为两个 treap 已经有序，我们只需要考虑来决定哪个 treap 应与另一个 treap 的儿子合并。若的根结点的大于的，那么即为新根结点，应与的右子树合并；反之，则作为新根结点，然后让与的左子树合并。不难发现，这样合并所得的树依然满足的大根堆性质。

node *merge(node *u, node *v) {
  if (u == nullptr) {
    return v;
  }
  if (v == nullptr) {
    return u;
  }
  if (u->priority > v->priority) {
    u->rch = merge(u->rch, v);
    return u;
  } else {
    v->lch = merge(u, v->lch);
    return v;
  }
}

建树（build）¶

将一个有个节点的序列转化为一棵 treap。

定义 Merge(x,y) 表示将根为和的两棵 Treap 合并成一棵，其根为该函数的返回值。需要保证。

定义 Split(o,k,x,y) 表示将根为的 Treap 分裂成两个部分，保证，即将该 Treap 分裂成权值小于等于的项和其他，分别为和。

可以依次暴力插入这个节点，每次插入一个权值为的节点时，将整棵 treap 按照权值分裂成权值小于等于的和权值大于的两部分，然后新建一个权值为的节点，将两部分和新节点按从小到大的顺序依次合并，时间复杂度，单点插入时间复杂度。

void build(int n, int a[]) {
  int x, y;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    split(rt, a[i], x, y);
    rt = merge(merge(x, newnode(a[i])), y);
  }
}

在某些题目内，可能会有多次插入一段序列的操作，这是就需要在的时间复杂度内完成建树操作。（假设这些节点已经有序）

方法一：直接将这个节点构造成一棵类线段树，即每次选取最中间的节点作为一段区间的树根，这样能保证树高为。然后对每个节点钦定优先值，保证其满足堆的性质。

方法二：直接将这个节点构造成一棵类线段树，即每次选取最中间的节点作为一段区间的树根，这样能保证树高为。然后给每个节点一个随机优先级，不保证其满足堆的性质。因为非旋式 treap 的优先级不是维护堆的性质，保证树高的，而是使 merge 操作更加随机一点，所以也是正确的。

方法三：观察到 treap 是一个笛卡尔树，利用笛卡尔树的建树方法即可，用单调栈维护右脊柱即可。

将 treap 包装成为 `set<int>`¶

count 函数¶

直接依靠二叉搜索树的性质查找即可。

int find(node *u, int key) {
  if (u == nullptr) {
    return 0;
  }
  if (key == u->key) {
    return 1;
  }
  if (key < u->key) {
    return find(u->lch, key);
  } else {
    return find(u->rch, key);
  }
}

int count(int key) { return find(root, key); }

insert 函数¶

先在待插入的关键值处将整棵 treap 分裂，判断关键值是否已插入过之后新建一个结点，包含待插入的关键值，然后进行两次合并操作即可。

void insert(int key) {
  pair<node*, node*> o = split(root, key);
  if (find(root, key) == 0) {
    o.first = merge(o.first, new node(key));
  }
  root = merge(o.first, o.second);
}

erase 函数¶

将具有待删除的关键值的结点从整棵 treap 中孤立出来（进行两侧分裂操作），删除中间的一段（具有待删除关键值），再将左右两端合并即可。

void erase(int key) {
  pair<node*, node*> o = split(root, key - 1);
  pair<node*, node*> p = split(o.second, key);
  delete p.first;
  root = merge(o.first, p.second);
}

旋转 treap¶

旋转 treap 在做普通平衡树题的时候，是所有平衡树中常数较小的

维护平衡的方式为旋转。性质与普通二叉搜索树类似

因为普通的二叉搜索树会被递增或递减的数据卡，用 treap 对每个节点定义一个权值，由 rand 得到，从而防止特殊数据卡。

每次删除/插入时通过 rand 值决定要不要旋转即可，其他操作与二叉搜索树类似

以下是 bzoj 普通平衡树模板代码

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <iostream>

#define maxn 100005
#define INF (1 << 30)

int n;

struct treap {
  int l[maxn], r[maxn], val[maxn], rnd[maxn], size[maxn], w[maxn];
  int sz, ans, rt;
  inline void pushup(int x) { size[x] = size[l[x]] + size[r[x]] + w[x]; }
  void lrotate(int &k) {
    int t = r[k];
    r[k] = l[t];
    l[t] = k;
    size[t] = size[k];
    pushup(k);
    k = t;
  }
  void rrotate(int &k) {
    int t = l[k];
    l[k] = r[t];
    r[t] = k;
    size[t] = size[k];
    pushup(k);
    k = t;
  }
  void insert(int &k, int x) {
    if (!k) {
      sz++;
      k = sz;
      size[k] = 1;
      w[k] = 1;
      val[k] = x;
      rnd[k] = rand();
      return;
    }
    size[k]++;
    if (val[k] == x) {
      w[k]++;
    } else if (val[k] < x) {
      insert(r[k], x);
      if (rnd[r[k]] < rnd[k]) lrotate(k);
    } else {
      insert(l[k], x);
      if (rnd[l[k]] < rnd[k]) rrotate(k);
    }
  }

  void del(int &k, int x) {
    if (!k) return;
    if (val[k] == x) {
      if (w[k] > 1) {
        w[k]--;
        size[k]--;
        return;
      }
      if (l[k] == 0 || r[k] == 0)
        k = l[k] + r[k];
      else if (rnd[l[k]] < rnd[r[k]]) {
        rrotate(k);
        del(k, x);
      } else {
        lrotate(k);
        del(k, x);
      }
    } else if (val[k] < x) {
      size[k]--;
      del(r[k], x);
    } else {
      size[k]--;
      del(l[k], x);
    }
  }

  int queryrank(int k, int x) {
    if (!k) return 0;
    if (val[k] == x)
      return size[l[k]] + 1;
    else if (x > val[k]) {
      return size[l[k]] + w[k] + queryrank(r[k], x);
    } else
      return queryrank(l[k], x);
  }

  int querynum(int k, int x) {
    if (!k) return 0;
    if (x <= size[l[k]])
      return querynum(l[k], x);
    else if (x > size[l[k]] + w[k])
      return querynum(r[k], x - size[l[k]] - w[k]);
    else
      return val[k];
  }

  void querypre(int k, int x) {
    if (!k) return;
    if (val[k] < x)
      ans = k, querypre(r[k], x);
    else
      querypre(l[k], x);
  }

  void querysub(int k, int x) {
    if (!k) return;
    if (val[k] > x)
      ans = k, querysub(l[k], x);
    else
      querysub(r[k], x);
  }
} T;

int main() {
  srand(123);
  scanf("%d", &n);
  int opt, x;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    scanf("%d%d", &opt, &x);
    if (opt == 1)
      T.insert(T.rt, x);
    else if (opt == 2)
      T.del(T.rt, x);
    else if (opt == 3) {
      printf("%d\n", T.queryrank(T.rt, x));
    } else if (opt == 4) {
      printf("%d\n", T.querynum(T.rt, x));
    } else if (opt == 5) {
      T.ans = 0;
      T.querypre(T.rt, x);
      printf("%d\n", T.val[T.ans]);
    } else if (opt == 6) {
      T.ans = 0;
      T.querysub(T.rt, x);
      printf("%d\n", T.val[T.ans]);
    }
  }
  return 0;
}