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Splay

如何用 \text{Splay}维护二叉查找树。

简介

\text{Splay}是一种二叉查找树，它通过不断将某个节点旋转到根节点，使得整棵树仍然满足二叉查找树的性质，并且保持平衡而不至于退化为链，它由 Daniel Sleator 和 Robert Tarjan 发明。

结构

二叉查找树的性质

首先肯定是一棵二叉树！

能够在这棵树上查找某个值的性质：左儿子的值 <根节点的值 <右儿子的值。

节点维护信息

rttotfa[i]ch[i][0/1]val[i]cnt[i]sz[i]
根节点编号节点个数父亲左右儿子编号节点权值权值出现次数子树大小

操作

基本操作

  • \text{maintain}(x)：在改变节点位置前，将节点 x的 \text{size}更新。
  • \text{get}(x)：判断节点 x是父亲节点的左儿子还是右儿子。
  • \text{clear}(x)：销毁节点 x。
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void maintain(int x) { sz[x] = sz[ch[x][0]] + sz[ch[x][1]] + cnt[x]; }
bool get(int x) { return x == ch[fa[x]][1]; }
void clear(int x) { ch[x][0] = ch[x][1] = fa[x] = val[x] = sz[x] = cnt[x] = 0; }

旋转操作

为了使 \text{Splay}保持平衡而进行旋转操作，旋转的本质是将某个节点上移一个位置。

旋转需要保证 ：

  • 整棵 \text{Splay}的中序遍历不变（不能破坏二叉查找树的性质）。
  • 受影响的节点维护的信息依然正确有效。
  • \text{root}必须指向旋转后的根节点。

在 \text{Splay}中旋转分为两种：左旋和右旋。

具体分析旋转步骤 （假设需要旋转的节点为 x，其父亲为 y，以右旋为例）

  1. 将 y的左儿子指向 x的右儿子，且 x的右儿子的父亲指向 y。 ch[y][0]=ch[x][1]; fa[ch[x][1]]=y;
  2. 将 x的右儿子指向 y，且 y的父亲指向 x。 ch[x][chk^1]=y; fa[y]=x;
  3. 如果原来的 y还有父亲 z，那么把 z的某个儿子（原来 y所在的儿子位置）指向 x，且 x的父亲指向 z。 fa[x]=z; if(z) ch[z][y==ch[z][1]]=x;
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void rotate(int x) {
  int y = fa[x], z = fa[y], chk = get(x);
  ch[y][chk] = ch[x][chk ^ 1];
  fa[ch[x][chk ^ 1]] = y;
  ch[x][chk ^ 1] = y;
  fa[y] = x;
  fa[x] = z;
  if (z) ch[z][y == ch[z][1]] = x;
  maintain(x);
  maintain(y);
}

Splay 操作

\text{Splay}规定：每访问一个节点后都要强制将其旋转到根节点。此时旋转操作具体分为 6种情况讨论（其中 x为需要旋转到根的节点）

  • 如果 x的父亲是根节点，直接将 x左旋或右旋（图 1,2）。
  • 如果 x的父亲不是根节点，且 x和父亲的儿子类型相同，首先将其父亲左旋或右旋，然后将 x右旋或左旋（图 3,4）。
  • 如果 x的父亲不是根节点，且 x和父亲的儿子类型不同，将 x左旋再右旋、或者右旋再左旋（图 5,6）。

分析起来一大串，其实代码一小段。大家可以自己模拟一下 6种旋转情况，就能理解 \text{Splay}的基本思想了。

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void splay(int x) {
  for (int f = fa[x]; f = fa[x], f; rotate(x))
    if (fa[f]) rotate(get(x) == get(f) ? f : x);
  rt = x;
}

插入操作

插入操作是一个比较复杂的过程，具体步骤如下（插入的值为 k）：

  • 如果树空了则直接插入根并退出。
  • 如果当前节点的权值等于 k则增加当前节点的大小并更新节点和父亲的信息，将当前节点进行 \text{Splay}操作。
  • 否则按照二叉查找树的性质向下找，找到空节点就插入即可（当然别忘了 \text{Splay}操作哦）。
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void ins(int k) {
  if (!rt) {
    val[++tot] = k;
    cnt[tot]++;
    rt = tot;
    maintain(rt);
    return;
  }
  int cnr = rt, f = 0;
  while (1) {
    if (val[cnr] == k) {
      cnt[cnr]++;
      maintain(cnr);
      maintain(f);
      splay(cnr);
      break;
    }
    f = cnr;
    cnr = ch[cnr][val[cnr] < k];
    if (!cnr) {
      val[++tot] = k;
      cnt[tot]++;
      fa[tot] = f;
      ch[f][val[f] < k] = tot;
      maintain(tot);
      maintain(f);
      splay(tot);
      break;
    }
  }
}

查询 x 的排名

根据二叉查找树的定义和性质，显然可以按照以下步骤查询 x的排名：

  • 如果 x比当前节点的权值小，向其左子树查找。
  • 如果 x比当前节点的权值大，将答案加上左子树（ size）和当前节点（ cnt）的大小，向其右子树查找。
  • 如果 x与当前节点的权值相同，将答案加 1并返回。

注意最后需要进行 \text{Splay}操作。

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int rk(int k) {
  int res = 0, cnr = rt;
  while (1) {
    if (k < val[cnr]) {
      cnr = ch[cnr][0];
    } else {
      res += sz[ch[cnr][0]];
      if (k == val[cnr]) {
        splay(cnr);
        return res + 1;
      }
      res += cnt[cnr];
      cnr = ch[cnr][1];
    }
  }
}

查询排名 x 的数

设 k为剩余排名，具体步骤如下：

  • 如果左子树非空且剩余排名 k不大于左子树的大小 size，那么向左子树查找。
  • 否则将 k减去左子树的和根的大小。如果此时 k的值小于等于 0，则返回根节点的权值，否则继续向右子树查找。
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int kth(int k) {
  int cnr = rt;
  while (1) {
    if (ch[cnr][0] && k <= sz[ch[cnr][0]]) {
      cnr = ch[cnr][0];
    } else {
      k -= cnt[cnr] + sz[ch[cnr][0]];
      if (k <= 0) return val[cnr];
      cnr = ch[cnr][1];
    }
  }
}

查询前驱

前驱定义为小于 x的最大的数，那么查询前驱可以转化为：将 x插入（此时 x已经在根的位置了），前驱即为 x的左子树中最右边的节点，最后将 x删除即可。

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int pre() {
  int cnr = ch[rt][0];
  while (ch[cnr][1]) cnr = ch[cnr][1];
  return cnr;
}

查询后继

后继定义为大于 x的最小的数，查询方法和前驱类似： x的右子树中最左边的节点。

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int nxt() {
  int cnr = ch[rt][1];
  while (ch[cnr][0]) cnr = ch[cnr][0];
  return cnr;
}

删除操作

删除操作也是一个比较复杂的操作，具体步骤如下：

  • 首先将 x旋转到根的位置。

  • 接下来分为多个情况考虑：

  • 如果有不止一个 x，那么将 cnt[x]减 1并退出。

  • 如果 x没有儿子节点，那么直接将当前节点 \text{clear}并退出。
  • 如果 x只有一个儿子，那么先将当前节点 \text{clear}再把唯一的儿子作为根节点。
  • 否则将 x的前驱旋转到根并作为根节点，将 x的右子树接到根节点的右子树上，最后要将根的信息更新。
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void del(int k) {
  rk(k);
  if (cnt[rt] > 1) {
    cnt[rt]--;
    maintain(rt);
    return;
  }
  if (!ch[rt][0] && !ch[rt][1]) {
    clear(rt);
    rt = 0;
    return;
  }
  if (!ch[rt][0]) {
    int cnr = rt;
    rt = ch[rt][1];
    fa[rt] = 0;
    clear(cnr);
    return;
  }
  if (!ch[rt][1]) {
    int cnr = rt;
    rt = ch[rt][0];
    fa[rt] = 0;
    clear(cnr);
    return;
  }
  int x = pre(), cnr = rt;
  splay(x);
  fa[ch[cnr][1]] = x;
  ch[x][1] = ch[cnr][1];
  clear(cnr);
  maintain(rt);
}

完整代码

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#include <cstdio>
const int N = 100005;
int rt, tot, fa[N], ch[N][2], val[N], cnt[N], sz[N];
struct Splay {
  void maintain(int x) { sz[x] = sz[ch[x][0]] + sz[ch[x][1]] + cnt[x]; }
  bool get(int x) { return x == ch[fa[x]][1]; }
  void clear(int x) {
    ch[x][0] = ch[x][1] = fa[x] = val[x] = sz[x] = cnt[x] = 0;
  }
  void rotate(int x) {
    int y = fa[x], z = fa[y], chk = get(x);
    ch[y][chk] = ch[x][chk ^ 1];
    fa[ch[x][chk ^ 1]] = y;
    ch[x][chk ^ 1] = y;
    fa[y] = x;
    fa[x] = z;
    if (z) ch[z][y == ch[z][1]] = x;
    maintain(x);
    maintain(y);
  }
  void splay(int x) {
    for (int f = fa[x]; f = fa[x], f; rotate(x))
      if (fa[f]) rotate(get(x) == get(f) ? f : x);
    rt = x;
  }
  void ins(int k) {
    if (!rt) {
      val[++tot] = k;
      cnt[tot]++;
      rt = tot;
      maintain(rt);
      return;
    }
    int cnr = rt, f = 0;
    while (1) {
      if (val[cnr] == k) {
        cnt[cnr]++;
        maintain(cnr);
        maintain(f);
        splay(cnr);
        break;
      }
      f = cnr;
      cnr = ch[cnr][val[cnr] < k];
      if (!cnr) {
        val[++tot] = k;
        cnt[tot]++;
        fa[tot] = f;
        ch[f][val[f] < k] = tot;
        maintain(tot);
        maintain(f);
        splay(tot);
        break;
      }
    }
  }
  int rk(int k) {
    int res = 0, cnr = rt;
    while (1) {
      if (k < val[cnr]) {
        cnr = ch[cnr][0];
      } else {
        res += sz[ch[cnr][0]];
        if (k == val[cnr]) {
          splay(cnr);
          return res + 1;
        }
        res += cnt[cnr];
        cnr = ch[cnr][1];
      }
    }
  }
  int kth(int k) {
    int cnr = rt;
    while (1) {
      if (ch[cnr][0] && k <= sz[ch[cnr][0]]) {
        cnr = ch[cnr][0];
      } else {
        k -= cnt[cnr] + sz[ch[cnr][0]];
        if (k <= 0) return val[cnr];
        cnr = ch[cnr][1];
      }
    }
  }
  int pre() {
    int cnr = ch[rt][0];
    while (ch[cnr][1]) cnr = ch[cnr][1];
    return cnr;
  }
  int nxt() {
    int cnr = ch[rt][1];
    while (ch[cnr][0]) cnr = ch[cnr][0];
    return cnr;
  }
  void del(int k) {
    rk(k);
    if (cnt[rt] > 1) {
      cnt[rt]--;
      maintain(rt);
      return;
    }
    if (!ch[rt][0] && !ch[rt][1]) {
      clear(rt);
      rt = 0;
      return;
    }
    if (!ch[rt][0]) {
      int cnr = rt;
      rt = ch[rt][1];
      fa[rt] = 0;
      clear(cnr);
      return;
    }
    if (!ch[rt][1]) {
      int cnr = rt;
      rt = ch[rt][0];
      fa[rt] = 0;
      clear(cnr);
      return;
    }
    int x = pre(), cnr = rt;
    splay(x);
    fa[ch[cnr][1]] = x;
    ch[x][1] = ch[cnr][1];
    clear(cnr);
    maintain(rt);
  }
} tree;

int main() {
  int n, opt, x;
  for (scanf("%d", &n); n; --n) {
    scanf("%d%d", &opt, &x);
    if (opt == 1)
      tree.ins(x);
    else if (opt == 2)
      tree.del(x);
    else if (opt == 3)
      printf("%d\n", tree.rk(x));
    else if (opt == 4)
      printf("%d\n", tree.kth(x));
    else if (opt == 5)
      tree.ins(x), printf("%d\n", val[tree.pre()]), tree.del(x);
    else
      tree.ins(x), printf("%d\n", val[tree.nxt()]), tree.del(x);
  }
  return 0;
}

例题

以下题目都是裸的 \text{Splay}维护二叉查找树。（直接套板子即可）

练习题

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